O Último teorema de Fermat ou teorema de Fermat-Wiles, afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça:
O teorema deve seu nome ao matemático e cientista francês Pierre de Fermat - Beaumont de Lomagne, 17 de Agosto de 1601; Castres, 12 de Janeiro de 1665 - que escreveu às margens de uma tradução de Arithmetica de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet." Ou seja: "Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la." Após ter sido objeto de fervorosas pesquisas durante mais de 300 anos (a nota acima insinuava que uma demonstração elementar era possível - o que atiçou a curiosidade de todos), ele foi finalmente demonstrado em 1994 pelo matemático britânico e professor na Universidade de Princeton Andrew Wiles, com a colaboração de Richard Taylor. A grande maioria dos matemáticos acredita hoje que Fermat estava enganado: a prova utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números abrangendo curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas (termo derivado de Évariste Galois - Bourg la Reine, 25 de outubro de 1811; Paris, 31 de maio de 1832 - matemático francês ) as quais ainda não existiam na época em que viveu Fermat. Mais precisamente, Wiles provou um caso particular (para curvas ditas semi-estáveis) da Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabia-se já havia algum tempo que este caso implicava o teorema.
Este teorema não tem aplicação nenhuma per se: ele toma um valor importante, no entanto, devido às idéias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo. Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação xn + yn = 1 quando n > 2, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero.
A história romanceada da demonstração do UTF está detalhadamente apresentada no livro de Simon Singh: "O Último Teorema de Fermat", Editora Record (BR), 1998. O livro teve versão para a televisão na série de documentários científicos da BBC "Horizon".
